Chapter 3. Electric Flux Density, Gauss's Law, and Divergence

1. 전속밀도

패러데이의 실험: 외부도체구에 유도된 총 전하량의 크기는 두 구체를 가르는 유전물질의 종류에 관계없이 처음에 내부도체구에 준 전하량의 크기와 같다. 매질에 관계없이 내구로부터 외구로의 일종의 변위가 일으나고, 이것을 전기변위, 전기변위속 또는 전속(electric flux)라 부른다.

전속을 //(\varPsi//), 내구상의 총 전하량을 //(Q//)라고 하면, 패러데이의 실험 결과는

$$ \varPsi = Q $$

전속의 단위는 전하의 단위와 같은 쿨롱 [//(\mathrm{C}//)]이다.

전속밀도는 //( \mathrm{C/m^2}//)으로 측정되며 //( \mathbf{D}//)로 표시한다.

 

임의의 한 점에서 //(\mathbf{D}//)의 방향은 그 점을 통과하는 속선의 방향을 표시하며, 크기는 그 점의 전속과 직각방향인 표면을 통과하는 속선의 수를 표면적으로 나눈 것과 같다.

$$ \mathbf{D}|_{r=a}={Q \over 4 \pi a^2}\mathbf{a}_r \qquad (inner \qquad sphere) $$

$$ \mathbf{D}|_{r=b}={Q \over 4 \pi a^2}\mathbf{a}_r \qquad (outer \qquad sphere) $$

$$ \mathbf{D}={Q \over 4 \pi r^2} \mathbf{a}_r \qquad (a \le r \le b) $$

내구가 갖는 전하량 //(Q//)를 그대로 유지하고 내구의 반경이 줄어 점전하가 된다. 점전하로부터 //(Q//)개의 속선이 대칭적으로 밖으로 나가며, 이들 속선은 점전하로부터 //(r//)인 거리에 있는 표면적이 //(4 \pi r^2//)인 가상의 구표면을 통과한다.

 

이 결과 자유공간 내의 점전하 전계세기는

$$ \mathbf{E}={Q \over 4 \pi \epsilon_0 r^2} \mathbf{a}_r $$

$$ \mathbf{D}= \epsilon_0 \mathbf{E} $$

자유공간 내의 체적전하분포에 의한 전계세기

$$ \mathbf{E}= \int_{\mathrm{vol}}{\rho_v dv \over 4 \pi \epsilon_0 R^2} \mathbf{a}_r $$

같은 방법으로 단일 점전하에 의한 전속밀도는

$$ \mathbf{D}= \int_{\mathrm{vol}}{\rho_v dv \over 4 \pi \epsilon_0 R^2} \mathbf{a}_r $$

 

2. 가우스의 법칙

가우스의 법칙: 어떤 폐곡면을 통과하는 전속은 그 곡면 내에 있는 총 전하량과 같다.

 

폐곡면 상의 한 점 P에서 //( \mathbf{D}_S//)와 면적소 //(\Delta S//)와 사이의 각을 //( \theta//)라고 하면, //(\Delta S//)를 통과해서 표면 밖으로 나가는 전속 //(\Delta \Psi//)는 //(\mathbf{D}_S//)의 수직성분과 //(\Delta S//)와의 곱과 같다.

$$ \Delta \Psi = \mathrm{flux \,\, crossing} \, \, \Delta S=D_{S,norm} \Delta S = D_S \cos \theta \Delta S= \mathbf{D}_S \cdot \Delta \mathbf{S} $$

$$ \Psi = \oint_S \mathbf{D}_S \cdot d \mathbf{S} = charge \, \, enclosed = Q $$

 

폐곡면 내의 전하들을 몇 개의 점전하로 표시할 수 있는데 이때 총 전하는

$$ Q=\Sigma Qn $$

선 전하인 경우

$$ Q=\int \rho_L dL $$

표면전하인 경우

$$ Q=\int_S \rho_S dS $$

체적전하분포를 갖는 경우

$$ Q=\int_{\mathrm{vol}} \rho_v dv $$

 

체적전하분포를 사용하면 모든 형태의 전하량을 이 식으로 표시할 수 있기 때문에, 전하분포를 사용해서 가우스 법칙을 나타내면

$$ \oint_S \mathbf{D}_S \cdot d \mathbf{S}=\int_{\mathrm{vol}} \rho_v dv $$

물리적 의미: 어떠한 폐곡면을 통과하는 총전속은 폐곡면 내의 전하량과 같다.

 

3. 가우스 법칙의 응용: 대칭전하 분포

일반적으로 적분방정식을 푸는 것은 어려운 문제지만, 다음과 같은 두 가지 조건이 만족되면 해를 구할 수 있다.

• //(\mathbf{D}_S//)는 모든 점에서 폐곡면과 수직이거나 접선방향이다. //(\mathbf{D}_S \cdot d \mathbf{S}//)는 각//(D_S dS//)와 같거나 영이다.
• //(\mathbf{D}_S \cdot d \mathbf{S}//)가 영이 아닌 폐곡면 부분 위에서, //(D_S//)= 상수

$$ Q = \oint_S \mathbf{D}_S \cdot d \mathbf{S} = \oint_{\mathrm{sph}} D_S dS \qquad \,\,\,\, \qquad \qquad \qquad$$

$$ =D_S \oint_{\mathrm{sph}}dS=D_S \int^{\phi = 2\pi}_{\phi=0} \int^{\theta=\pi}_{\theta=0} r^2 \sin \theta d \theta d \phi $$

$$ =4 \pi r^2 D_S \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,\,\,\, \qquad$$

$$ D_S= {Q \over 4 \pi r^2} $$

$$ \mathbf{D}={Q \over 4 \pi r^2} \mathbf{a}_r \qquad \mathbf{E}={Q \over 4 \pi \epsilon_0 r^2} \mathbf{a}_r $$

이 결과는 쿨롱의 법칙에서 간단히 얻어지므로 가우스 법칙을 이용한다는 것은 별로 의미가 없다. 오히려 전계가 대칭적이고 방사선 방향을 갖는다는 것을 미리 알아야 하기 때문에 번거롭지만, 다른 문제들을 푸는 방법을 제시하고 있다는 데 의미가 있다. 이러한 문제 가운데는 쿨롱의 법칙으로 답을 구하는 것이 불가능한 경우도 있다.

 

가우스 법칙을 이용하여 문제를 풀 때 대칭성을 고려하는 것은 적분을 간단히 할 수 있도록 하기 위한 것이 아니다. 왜냐하면 가우스 법칙의 이용은 대칭성에 의존하기 때문이다. 대칭성이 존재한다는 것을 보여줄 수 없으면, 우리는 해를 얻기 위하여 가우스법칙을 사용할 수 없다.

 

균일선전하의 경우 //(\mathbf{D}//)는 방사성분만 가진다.

$$ \mathbf{D}=D_{\rho} \mathbf{a}_{\rho} $$

이 성분은 //( \rho //)만의 함수이므로

$$ D_{\rho}=f( \rho ) $$

가우스 법칙을 적용시키면

전하밀도를//( \rho_L //) 이라고 하면, 폐곡면 내의 총 전하량은

$$ Q=\rho_L L $$

선전하 전속밀도

$$ D_{\rho}={\rho_L \over 2 \pi \rho} $$

선전하 전계세기

$$ E_{\rho}={\rho_L \over 2 \pi \epsilon_0 \rho} $$

쿨롱의 법칙 결과와 비교 볼 때 가우스 법칙을 이용하면 훨씬 용이하게 정확한 결과를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 이 경우 적절한 폐곡면을 택하면, 적분은 보통 //( \mathbf{D}//)가 수직이 되는 면의 면적과 마찬가지이다.

 

동축케이블의 문제는 선전하의 경우와 거의 같지만, 가우스 법칙을 이용해 풀기는 대단히 어려운 예이다. 내경 //(a//), 외경 //(b//)인 길이가 무한인 두 개의 동축원통도체를 가정하자. 내부도체의 외부표면상에 표면전하밀도 //(\rho_S//)가 분포되어 있다고 가정한다.

 

4. 가우스 법칙의 응용: 미소체적소

대칭성을 갖지 않는 경우에 대해서 가우스 법칙을 적용시키는 방법에 관해서 고찰해 보자. 이러한 난점을 해결할 수 있는 방법으로 극히 작은 폐곡면을 택하여 이 표면상에서 //(\mathbf{D}//)에 대한 테일러(Taylor) 전개식의 첫 2개항으로 //(\mathbf{D}//)의 미소증가량을 표시하는 방법을 들 수 있다. 이 폐곡면, 즉 가우스 표면 내의 체적이 작을수록 이 방법으로 얻는 결과는 정확해지므로 이 체적의 극한값이 영이 되는 경우를 고찰하면 정확한 결과를 얻을 수 있을 것이다.

이 예는 어떤 점의 //(\mathbf{D}//)의 값이 아니라 그 점을 둘러싸는 미소영역 내에서 //(\mathbf{D}//)가 어떻게 변화하는가를 구하는 점에서 앞의 예들과 다르다.

이 사실은 전자장이론의 기본이 되는 4개의 맥스웰방정식 중의 하나로 이끈다.

미소체적에 가우스 법칙을 적용하면

$$ \oint_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{S}=Q $$

폐곡면의 적분을 구하기 위해서 각 면에 대해 1개씩인 6개의 적분으로 분할한다.

$$ \oint \mathbf{D} \cdot d \mathbf{S}=\int_{\mathrm{front}}+\int_{\mathrm{back}}+\int_{\mathrm{left}}+\int_{\mathrm{right}}+\int_{\mathrm{top}}+\int_{\mathrm{bottom}} $$

첫 번째 //(\mathrm{front}//) 적분, 이 입방체의 전면의 면적은 극히 작으므로 이 면적소상에서 //(\mathbf{D}//)는 일정하다고 생각할 수 있다.

$$ \int_{\mathrm{front}} \doteq \mathbf{D}_{\mathrm{front}} \cdot \Delta \mathbf{S}_{\mathrm{front}} \qquad \,\,\,\,\,$$

$$ \doteq \mathbf{D}_{\mathrm{front}} \cdot \Delta y \Delta z \mathbf{a}_x $$

$$ \doteq D_{x, \,\, \mathrm{front}} \Delta y \Delta z \,\,\,\,\,$$

여기서 //( D_x //)는 미소입방체의 전면상의 //(\mathbf{D}//)의 //(x//)성분의 근사값을 표시한다. 전면은 //(P//)점으로부터 //( \Delta x/2//)인 거리에 있으므로

$$ D_{x, \,\, \mathrm{front}} \doteq D_{x0} + {\Delta x \over 2} \times \,\, \mathrm{rate \,\, of \,\, change \,\, of \,\,} D_x \,\, \mathrm{with} \,\, x $$

$$ \doteq D_{x0} + {\Delta x \over 2}{\partial D_x \over \partial x} $$

여기서 //(D_{x0}//)는 점 //(P//)에서 //(D_x//)의 값이며, //(D_x//)는 일반적으로 //(x, \,\, y, \,\, z//)의 함수이므로 //(x//)에 대한 변화율을 표시하는 데 편미분계수를 사용해야 한다. 이 표현은 //(P//)점 근방에서 //(D_x//)에 대한 테일러 급수 전개식의 상수와 1차 미분계수로 나타낼 수 있다.

$$ \int_{\mathrm{front}} \doteq \Big( D_{x0} + {\Delta x \over 2}{\partial D_x \over \partial x} \Big) \Delta y \Delta z $$