브러시리스 영구자석 모터 설계(Ch. 3 전기적 및 기계적 관계: 3.3)

3.3 Energy and Coenergy

자기장에 저장된 에너지는 전기 에너지가 기계 에너지로 변환되는 매개체인 만큼 브러시리스 영구 자석 모터의 설계와 해석에서 알아야 할 중요한 양이다. 또한 자기장에 저장된 에너지나 co-energy를 알면 인덕턴스를 계산하는 한 가지 방법을 제공한다.

 

Energy and Coenergy in Singly-Excited Systems

에너지와 코에너지의 계산을 설명하기 위해 그림 3-1에 나타난 단일 자극 자기회로를 재검토한다. 저항성 손실을 무시할 경우 코일의 자기장으로 전달되는 순간전력은 p=ei 이며, 여기서 e 와 i 는 MMF 소스를 형성하는 코일의 순간 전압과 전류다. (3.14)을 사용하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$ p=i{d \lambda \over dt} $$ (3.20)

전력은 에너지가 전송되는 속도이기 때문에, 시간 t 에서 코일에 저장된 에너지는 전력의 적분에 의해 주어진다.

$$ W=\int^t_0 i{d \lambda \over dt}dt=\int^{\lambda(t)}_{\lambda(0)}id \lambda $$ (3.21)

여기서 λ(0) 은 초기 쇄교 자속이고 λ(t) 는 시간 t 에서 쇄교 자속이다. 선형 자기 회로의 경우, i 와 λ 는 (3.4)에 주어진 인덕턴스와 관련이 있다.

위의 식에 (3.4)를 대입하면

$$ W={1 \over 2L} \Big[ \lambda(t)^2- \lambda(0)^2 \Big] $$ (3.22)

이 식에서, 시간 t 에서의 쇄교 자속이 시간 0에서의 쇄교 자속보다 작으면 공급된 에너지가 음수라는 것이 명백하다. 이것은 자기장에서 에너지가 나왔음을 의미합니다. λ(0)=0 임을 의미하는 저장된 초기 에너지를 0으로 만드는 것이 일반적입니다. 이렇게 함으로써 위의 방정식은 자기장에 저장된 총 에너지를 나타냅니다. 이 가정을 사용하면 위가 다음과 같이 됩니다.

$$ W={\lambda^2 \over 2L} $$ (3.23)

여기서  λ = λ(t)이다.

(3.22)에서 설명한 것처럼 자기장에 저장된 에너지는 그림 3-7에 표시된 인덕턴스 선 왼쪽의 음영 영역으로 볼 수 있습니다. λ(0)=0 으로 가정하면, 에너지는 단순히 선의 왼쪽에 있는 삼각형의 면적입니다.

종종 (3.23)에서 주어진 것처럼 쇄교 자속보다는 전류로 에너지를 표현하는 것이 편리하다. 여기서 선형 자기 회로를 고려할 때 그림 3-7에 표시된 인덕턴스 선 아래 영역은 왼쪽 영역과 같습니다. 선 아래 영역은 co-energy라고하며 다음에 의해 주어집니다.

$$ W_c=\int^{i(t)}_{i(0)} \lambda di $$ (3.24)

Figure 3-7. Graphical interpretation of energy and coenergy.

(3.4)와 i(0)=0으로 대체하면 익숙한 표현이됩니다.

$$ W_c= {1 \over 2}Li^2 $$ (3.25)

방정식 (3.23)과 방정식 (3.25)는 단독 자극 자기 회로에 저장된 에너지와 co-energy를 정의합니다. 이중 가진 회로를 고려하기 전에 자기 회로 및 자기장 매개 변수로 에너지 및 co-energy를 표현하는 것이 유용합니다. //( P= \mu A/l, \lambda=N \phi, L=N^2P, and F=Ni //)이기 때문에 에너지와 co-energy는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ W={\lambda^2 \over 2L}={(N \phi )^2 \over 2(N^2P)}={\phi^2 \over 2P} $$

$$ W_c={1 \over 2}Li^2={1 \over 2}(N^2P)i^2={1 \over 2}PF^2 $$ (3.26)

자기 회로 파라미터의 관점에서, 이 방정식에서 ϕ , P , F 는 인덕턴스 L 을 형성하는 코일과 관련된 자속, 퍼미언스 및 MMF입니다.

이러한 표현은 자기장 파라미터 B , H  및 μ 과 관련되어 단위 체적 당 에너지와 co-energy를 표현할 수 있습니다. ϕ=BA , F=Hl 이고 부피는 Al 이므로 (3.26)은 에너지와 co-energy 밀도를 제공하기 위해 조작될 수 있다.

$$ \omega={W \over Al}={\phi^2 \over 2PAl}={(BA)^2 \over 2(\mu A/l)Al}={B^2 \over 2\mu} $$

$$ \omega_c={W_c \over Al}={1 \over 2Al}PF^2={1 \over 2Al}(\mu A/l)(Hl)^2={\mu H^2 \over 2} $$ (3.27)

 

Energy and Co-energy in Doubly-Excited Systems

그림 3-2와 같은 이중 가진 시스템의 경우 에너지가 자기 및 상호 인덕턴스에 모두 저장되기 때문에 에너지 및 co-energy에 대한 표현이 더 복잡합니다. 특히, 상호 인덕턴스에 저장된 에너지 계산은 선행 분석보다 더 엄격합니다. 결과적으로 최종 결과만 제공되며 관심있는 독자는 다른 참조 자료를 참조하는 것이 좋습니다.

그림 3-2에서 자기장으로 전달되는 순시 전력은

$$ p=i_1{d \lambda_1 \over dt}+i_2{d \lambda_2 \over dt} $$ (3.28)

아래 첨자는 각 코일을 나타내고 전류는 소문자로 표시됩니다. 이 식에서, 자기장에 저장된 에너지는

$$ W={\lambda^2_{11} \over 2L_1}+{\lambda^2_{22} \over 2L_2}+{\lambda_{12}\lambda_{21} \over L_{12}} $$ (3.29)

여기서 //( \lambda_{11}=N_1 \phi_{11}, \lambda_{22}=N_2 \phi_{22}, \lambda_{12}=N_1 \phi_{12} and \lambda_{21}=N_2 \phi_{21} //) 이고, co-energy 는 다음과 같다.

$$ W_c={1 \over 2}L_1 i^2_1+{1 \over 2}L_2 i^2_2+i_1 i_2 L_{12} $$ (3.30)

(3.29)와 (3.30)의 비교는 (3.30)의 용어가 훨씬 더 명백하기 때문에 co-energy 사용의 명백한 이점을 보여줍니다. 이 방정식에서 처음 두 항은 각각 자기 인덕턴스에 저장된 에너지와 co-energy이며 마지막 항은 상호 인덕턴스에 저장된 에너지와 에너지입니다.

 

Co-energy in the Presence of a Permanent Magnet

브러시리스 영구 자석 모터의 중요성 때문에 영구 자석을 포함하는 자기 회로의 자기장에 저장된 전력을 고려하는 것이 중요합니다. 그림 3-3에 나타난 자기 회로의 경우, 저장된 에너지는

$$ W_c={1 \over 2}Li^2+{1 \over 2}(R+R_m) \phi^2_m + Ni \phi_m $$ (3.31)

여기서 //( \phi_m //)은 코일을 연결하는 자속이다. 이 식에서 첫 번째 항은 자기 인덕턴스에 저장된 전력이며 두 번째 항은 자석만으로 저장되는 전력이고 마지막 항은 상호 유출로 인한 전력이다. 다음에 논의되는 바와 같이, 모터에 의해 생성된 토크는 (3.31)의 자기 인덕턴스 항 및 상호 항으로 인한 다른 하나의 두 성분으로 구성된다. 브러시리스 영구 자석 모터에서, 상호 항으로 인한 토크가 요구되며, 자기 인덕턴스 항으로 인해 일반적으로 기생합니다.