브러시리스 영구자석 모터 설계(Ch. 4 브러시리스 모터 기초 :4.1~4.2)

브러시리스 영구 자석 모터의 설계는 간단한 작업이 아닙니다. 보다 일반적인 차원에서, 모터 설계는 자기학, 역학, 열역학, 전자 공학, 음향학 및 재료 과학에 대한 지식을 필요로 합니다. 좀 더 구체적인 수준에서는 의도된 모터 어플리케이션에 의해 부과된 성능 요구 사항 및 제약에 대한 지식이 필요합니다. 이러한 지식 체계가 주어지면, 모터 설계는 최소의 비용으로 최적의 솔루션을 찾는 것을 포함합니다. 이 텍스트는 모터 설계의 자성 측면에 중점을 둡니다. 위에 열거된 다른 일반적인 측면은 설계 과정에서 고려되지만 다른 영역에 대한 세부 설계 정보는 제공되지 않습니다.

 

4.1 Assumptions

앞서 논의된 성능 요구 사항 외에도 브러시리스 영구 자석 모터의 초기 설계를 보다 명확하게 정의하고 집중하기 위해서는 다른 초기 가정이 필요합니다. 이러한 가정 중 일부는 제한을 추가하고 다른 것은 기존의 설계 기술을 식별합니다.

 

Rotational Motion

회전 운동이 요구된다고 가정한다. 여기에서 개발된 설계 기술은 직선 운동이 있는 모터에도 쉽게 적용할 수 있지만 초기 작업은 회전자가 고정자 안에 있는 회전 운동에 초점을 맞춥니다.

 

Surface-Mounted Magnets

대부분의 브러시리스 영구 자석 모터는 공극을 향한 회전자 표면상에 장착된 자석을 갖는다. 이러한 이유로 초기 작업은 이 토폴로지에 초점을 맞춥니다. 일부 모터에서는 영구 자석이 철 구조물 안에 묻혀 있습니다. 내부 영구 자석 토폴로지는 일반적으로 세 가지 이유로 응용 프로그램을 찾습니다. 첫째, 자석을 매립함으로써 자속을 집중시키는 것이 가능하다. 둘째로, 자석을 강철로 감싸면 구조적으로 회전자를 더 강력하게 만들 수 있으므로 더 빠른 속도로 작동할 수 있습니다. 마지막으로, 자석을 묻음으로써 약 계자 제어를 사용하여 보다 넓은 속도 범위에서 모터를 구동 할 수 있습니다.

 

4.2 Fundament Concepts

브러시리스 모터 설계에서 상호 토크와 역기전력은 결정할 두 가지 기본 매개 변수입니다. 이 두 매개 변수는 (3.43)을 통해 밀접하게 연결되어 있으므로 하나에 대한 지식은 다른 것에 대한 정보를 제공합니다.  //(BLi//)및 //(BLv//)법칙은 각각 토크 및 역기전력을 결정하는 데 사용할 수 있지만 쇄교 자속을 계산하고 패러데이 법칙을 사용하여 역기전력을 얻는 것이 더 편리합니다. 그런 다음 (3.43) 토크를 결정하는 데 사용할 수 있습니다.

 

Magnetic Circuit Model

그림 4-1의 모터 단면을 고려하십시오. 여기서 회전자에는 //(N_m=4//)개의 자석 자극이 공극에 면합니다. 결과적으로 //(\theta_e=(N_m/2)\theta_m//)의 전기적 및 기계적 측정 간에는 두 가지 차이가 ​​있습니다. 단순화를 위해, 고정자는 슬롯 또는 권선없이 표현된다. 공극에서 N극을 벗어나는 자석 자속은 고정자로 넘어 가서 두 개의 동일한 섹션으로 나뉘며, 각각은 반대 방향으로 진행하고 공극에서 S극으로 공극을 교차합니다. N극과 S극의 한쪽 절반이 공극을 마주 보게되면 이 자속 흐름은 그림의 오른쪽에 있는 자속 경로로 표시됩니다. 다른 인접한 반 극 쌍들 각각 사이를 유동하는 자속은 이에 따라간다.

Figure 4-1. Fundamental motor structure and associated flux paths.

표시된 1차 자속 경로 외에도 일부 자석 자속은 그림 4-1 오른쪽의 공극 경로로 나타낸 것처럼 고정자로 전달하지 않고 공극의 한 자석에서 다른 자석으로 점프합니다. 이 경로를 따르는 자속은 종종 자속 누설 자속이라고 합니다.

그림 4-1에 표시된 자속 경로는 모든 인접한 반 극 쌍마다 반복되기 때문에 그림 4-2에 표시된 것과 같은 한 쌍의 모델링만 하면 됩니다. 이 그림에서 회전자 및 고정자 강철 영역은 단순히 자기저항 //(R_r, R_s//)로 각각 모델링됩니다. 두 개의 반쪽 자석은 자속 소스 //(\phi_r//)및 관련 자석 자기 저항 //(R_m//)으로 모델링되며, 자속 소스의 방향은 자석 극성을 지시합니다. 공극을 통해 자석에서 고정자로 1차 자속 흐름은 //(R_g//)로 표시된 공극 자기 저항을 통해 흐릅니다. 한 자석에서 다음 자석으로의 누설 자속은 누설 자기 저항 //(R_l//)을 통해 흐릅니다. 3개의 회로 자속은 자석 자속 //(\phi//), 공극 자속 //(\phi_g//) 및 누설 자속 //(\phi_l//)이다.

Figure 4-2. A magnetic circuit model for the structure shown in Fig. 4-1.

역기전력을 결정하기 전에, 자기 회로는 공극 자속밀도 //(B_g//)를 결정하기 위해 해결되어야 합니다. 그림 4-2와 같은 자기회로를 풀기보다는 그림 4-3과 같이 회로를 단순화하는 것이 편리합니다. 오른쪽 자석과 회전자 자기 저항은 직렬이므로 그림 4-3a에서 서로 바꿔 놓았습니다. 이것은 두 개의 반쪽 자석을 서로 옆에 놓고 다른 자기저항 옆에 회전자 저항을 배치합니다. 이 시점에서 누설 자기 저항에 대한 분석적인 설명을 결정하는 것은 어렵습니다. 그러나, 자석 자속에 비례하여 공극을 가로 질러 1차 자속 경로를 이동하는 자속의 비율이 추정될 수 있다. 즉, 공극 자속은 자석 자속의 관점에서 //(\phi_g=K_l \phi//) (여기서, //(K_l//)은 일반적으로 1보다 약간 작은 누설 인자)으로 표현될 수 있다. 이 관계식을 사용하여 자기장을 단순화하는 다음 단계 회로는 그림 4-3b와 같이 누설 자기 저항 //(R_l//)을 제거하는 것입니다. 이것은 누설 경로를 따라가는 자속이 거의 없기 때문에 가능하며 //(R_l//)에 대한 식을 찾기가 어렵기 때문에 바람직합니다. 자속이 누설 경로 다음에 //(\phi//)에 대한 해는 //(R_l//)의 추정치를 곱해서 누설 자기 저항이 제거되면 회전자와 고정자 강철의 자기 저항이 연속적이어서 단일 자기 저항으로 집중될 수 있습니다 (그림 4-3b).

Figure 4-3. Simplifications of the magnetic circuit in Fig. 4-2.

그림 4-3b의 두 개의 1/2자석은 그림 4-3c와 같이 단순화할 수 있습니다. 전기 회로의 관점에서 볼 때, 그림 4-3c에 표시된 단순화된 자석은 두 개의 직렬 자석 반쪽의 Norton 등가 회로를 결정하여 찾을 수 있습니다. 즉, 간략화 된 자속 소스//(\phi_r//)은 "짧은"자석이 직렬 자석을 가로 질러 놓여 지면 흐를 자속이므로 //(2R_m//)은 두 개의 직렬 자석에 의해 형성된 회로를 바라보는 등가의 자기 저항입니다. 자기 저항은 재료 길이에 직접적으로 비례하기 때문에 //(\phi_r//)은 변하지 않지만 //(R_m//)은 두 배가 됩니다.

그림 4-3c의 강재 자기 저항 //(R_r+R_s//)은 강자성 물질의 포화 특성 때문에 비선형적이다. 따라서 분석 솔루션을 찾기 위해서는 이러한 저항을 어느 정도 제거해야 합니다. 강철의 투자율이 공기에 비해 높기 만하면, 제 2장의 예와 같이 전기강판 자기 저항은 공극 자기 저항 //(R_g//)에 비해 작을 것입니다. 이것이 사실 일 때 전기강판 자기 저항은 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 공극 저항의 섭동. 즉, 그림 4-3d와 같이 자기저항 계수 //(K_r//)을 도입하여 전기강판 자기 저항을 제거할 수 있습니다. 여기서 //(K_r//)은 손실된 전기강판 자기 저항을 수용하거나 보상하기 위해 공극 저항을 약간 증가시키는 상수보다 약간 큰 상수이다.

실제로는 누설 계수 //(K_l//)와 자기저항 계수 //(K_r//)에 대한 분석식을 거의 결정하려고 시도하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 여기에서 수행되는 간단한 모델링을 통해 정확한 값을 결정하는 것은 너무 어렵습니다. 그들의 가치는 대개 디자이너의 경험을 토대로 선택됩니다.

 

Magnetic Circuit Solution

그림 4-3d의 자기 회로가 주어지면, 자속 //(\phi//)은 자속 분할을 사용하여 표현될 수 있다(즉, 전기 회로의 저항 사이의 전류 분배와 같이)

$$ \phi={2R_m \over 2R_m+2K_rR_g}\phi_r={1 \over 1+K_r {R_g \over R_m}}\phi_r $$ (4.1)

//( \phi_g=K_l \phi //), 자석과 공극의 자기 저항에 대한 일반적인 표현은

$$ R_m={l_m \over \mu_R \mu_o A_m}, R_g={g \over \mu_o A_g} $$ (4.2)

공극 자속은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \phi_g=K_l \phi={K_i \over 1+K_r{\mu_R g A_m \over l_m A_g}}\phi_r $$ (4.3)

여기서, //( l_m //)과 //( A_m //)은 각각 자석 길이와 단면적이며, //( g //)와 //( A_g //)는 공극 길이와 단면적이다. (2.30)에서 자속 집중 계수 //( C_{\phi}=A_m/A_g //), 자속밀도 관계식 //( B_g=\phi_g/A_g //)와 //( B_r=\phi_r/A_m //), (2.33)에서 투자율 계수 //( P_c=l_m/gC_{\phi} //)를 (4.3)에 대입하면 공극 자속 밀도는

$$ B_g={K_l C_{\phi} \over 1+K_r{\mu_R \over P_c}}B_r $$ (4.4)

이 방정식은 공극을 가로 지르는 공극 자속밀도를 설명합니다. 여기서 표면 자석으로 고려되는 모터의 누설 계수는 일반적으로 //( 0.9 \le K_l \lt 1.0 //), 자기저항 계수는 //(1.0 \lt K_r \le 1.2 //)이고, 자속 집중 계수는 1.0입니다. 이들 값이 고정되고 잔류자속 //(B_r//)이 자석 선택에 의해 고정된다고 고려하면, 투자율 계수 //(P_c//)는 공극 자속 밀도의 진폭을 결정한다. 투자율 계수가 증가함에 따라, 공극 자속밀도는 최대값에 가까워서 잔여 자기장보다 약간 작습니다. 자속 농도가 없으면 //(B_r//)보다 큰 공극 자속밀도 //(B_g//)를 얻을 수 없습니다. 또한 투자율 계수와 공극 자속밀도 사이의 관계는 비선형입니다. 공극 자속밀도는 잔류 자기장에 점근적으로 접근합니다. 배가 된 //(P_c//)는 //(B//)를 두 배로 늘리지 않습니다. 그러나 //(P_c//)를 두 배로 늘리면 자석의 길이가 두 배로 늘어나므로 볼륨과 관련 비용이 두 배가됩니다. 일반적인 매개 변수 값의 경우 그림 4-4는 투자율 계수와 비율 //( B_g/B_r //) 사이의 관계를 보여줍니다. 여기서 수직선은 많은 모터 설계에 사용되는 전형적인 4 ~ 6 투자율 계수 범위를 나타냅니다.

Figure 4-4. Relationship between normalized air gap flux densyty and permeance coefficient.

(4.4)에서의 자속 밀도는 극의 표면에 대한 공극 자속 밀도의 근사를 정의한다. 즉, (4.4)는 그림 4-5와 같이 공극 자속 밀도의 진폭을 나타낸다. N극 (4.4)은 양의 진폭을 제공하고 S극 (4.4)은 음의 진폭을 제공합니다. 이 근사가 정확하지는 않지만 (4.4)의 유도는 모터 작동에 대한 중요한 통찰력을 제공하며, (4.4)보다 정확한 모델링이 수행되는 경우에도 존재하는 기본 원리를 보여줍니다.

Figure 4-5. Ideal air gap flux density distribution.

편의상, 그림 4-5의 수평축은 도면에 도시된 바와 같이 한 쌍의 극에 대하여 주기적인 전기적 측정치로 기술된다. 여기에서 프로토타입 모터를 고려할 때 회전자의 둘레에 두 개의 전기주기가 있습니다.

 

Flux Linkage

자기 회로의 해가 주어진다면 그림 4-6과 같이 N 개의 권선으로 구성된 권선을 포함하는 두 개의 슬롯을 추가하는 것을 고려하십시오. 권선은 그림의 상단에 있는 슬롯에서 나오고 오른쪽에 있는 슬롯으로 들어가는 코일을 형성합니다. 코일 피치 또는 코일 던지기는 180°E 또는 //( \theta_p=2\pi / N_m[radM] //)이며 이는 전체 피치 권선이라고 합니다. 회전자가 회전함에 따라 공극 자속이 코일을 연결합니다. 그림 4-6에 도시된 회전자 위치에 대해, 자속은 코일로부터 공극을 가로 질러 회전자 자석의 S극을 향하여 흐른다. 이 자속 흐름 방향은 코일에 흐르는 전류에 의해 생성되는 자속 흐름 방향과 반대이므로 쇄교 자속은 음수입니다. //( \phi_g //)가 (4.3)에서 주어진 공극 자속이면, //( \theta_e=0 //)으로 표시된 위치에서의 쇄교 자속은 //( \lambda=-N \phi_g //)이다.

Figure 4-6. Motor having one full-pitch coil.

그림 4-7과 같이 회전자가 90°E로 회전하면 코일은 S극과 N극의 한쪽 절반에 집중됩니다. S극 위에는 자속이 로터쪽으로 흐르고 N극에는 자속이 고정자쪽으로 흐릅니다. 코일에 의해 연결되는 순 자속은 이 두 성분의 합으로 0이다.

Figure 4-7. Motor having one full-pitch coil.

회전자를 다른 90°E, //(\theta_e=//)180°E의 위치로 회전시키면 그림 4-8과 같이 코일이 N극의 중앙에 오게 됩니다. 이 위치에서 연결된 자속은 그림 4-6에서 보여지는 //( \theta_e=0 //) 위치에서 연결된 자속과 크기가 같지만 방향은 반대이다. 따라서 쇄교 자속은 양의 값을 갖는다.

Figure 4-8. Motor with rotor at 180°E.

0°E와 180°E 사이의 중간 지점에서 쇄교 자속은 0°E에서 최소와 180°E에서 최대 사이에서 선형으로 변합니다. 마찬가지로, 회전자가 360°E를 향해 180°E를 지나감에 따라 쇄교 자속은 180°E에서 최대에서 360°E에서 또 다른 최소쪽으로 선형적으로 떨어집니다. 그림 4-9a와 같이 S극과 N극이 교대로 코일을 연결하면 더 많은 회전자 회전이 주기적인 자속 결합 파형을 생성합니다.

Figure 4-9. Flux linkage and back EMF as a function of rotor position.

 

Back EMF and Torque

그림 4-9a에 나타난 쇄교 자속 파형에서 관련 역기전력은 패러데이의 법칙에 의해 표현된 파형의 미분입니다. 쇄교 자속의 형태가 삼각형이므로, 역기전력은 그림 4-9b와 같이 구형파 형태를 띤다. 역기전력의 주기는 360°E이므로 제1장의 전기 측정의 정의를 정당화합니다. 분석적으로 역기전력은

$$ e_b={d \lambda \over dt}={d \theta_e \over dt}{d \lambda \over d \theta_e}=\omega_e{d \lambda \over d \theta_e}={N_m \over 2} \omega_m{2N \phi_g \over \pi} $$ (4.5)

여기서 //( \omega_m //)은 회전자 속도 [radM/s]입니다. 이를 간단히 하기 위해 공극 자속은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ \phi_g=B_g A_g=B_g R_{ro} \theta_p L_{st}={2 \pi \over N_m}B_g L_{st} R_{ro} $$ (4.6)

여기서 //( B_g //)는 슬롯팅 가공을 고려하기 위해 Carter 계수 (2.13) 또는 (2.14)에 의해 수정된 공극 자속 밀도 (4.4)이고, //( \theta_p //)는 [radM] 단위의 각도 피치이고, //( R_{ro} //)는 자석 표면에서의 공극 반경이며, //(L_{st}//)는 모터의 축 방향 길이이다. 이 관계를 (4.5)에 대입하면 역기전력 //(E_b//)

$$ |e_b|=E_b={N_m \over 2} \omega_m {2N \over \pi} \bigg( {2 \pi \over N_m} B_g L_{st} R_{ro} \bigg) =2NB_g L_{st} R_{ro} \omega_m =K_e \omega_m $$ (4.7)

이 표현은 //( BLv //)법과 일치합니다. 인자 //( 2N //)은 각각 //( N //)개의 도체를 갖는 2개의 슬롯에 기인하고, //( R_{ro} \omega_m //)은 쇄교 자속이 변화하는 선형 속도이다. (4.7)에서 볼 수 있듯이, //( \omega_m //)을 제외한 이 표현식의 모든 항은 역기전력 상수 //( K_e //)를 형성하며 그 단위는 [V/(radM/s)]입니다.

(3.43)에서 (4.5)와 (4.7)의 적용은 코일에 흐르는 전류 //(i//)에 의해 생성된 토크를 결정합니다. (3.43)은 단순한 대수 관계이기 때문에, 일정 전류에 대해 토크 대 위치 형상은 그림 4-9b와 같이 역기전력 대 위치와 동일합니다. 토크의 진폭은

$$ |T|={E_b i \over \omega_m}=2NB_g L_{st} R_{ro} i = K_t i $$ (4.8)

//(R_{ro}//)를 제외한 이 식의 모든 항은 회전자가 받는 힘을 나타냅니다. 반지름 //(R_{ro}//)에서 작용하는 이 힘은 (1.1)에 따른 토크를 제공합니다. 다른 관점에서, //(i//)를 제외한 (4.8)의 모든 항은 [N-m/A] 단위의 토크 상수 //(K_t//)를 형성합니다. 이 토크 상수를 전술한 역기전력 정수와 비교함으로써, 이들은 동일한 양, 즉,

$$ K_e=K_t=2NB_gL_{st}R_{ro} $$ (4.9)

SI 단위로 되어 있기 때문에 모든 용어의 단위가 일관되게 해석된다면 수치적으로 동일합니다.

이 절에서 설명한 자속, 쇄교 자속, 역기전력 및 토크는 이상적인 상황을 나타냅니다. 실제로, 공극 자속 밀도는 그림 4-5와 같이 구형파 형태가 아닙니다. 결과적으로, 쇄교 자속은 그림 4-9a에 보이는 이상적인 삼각형 모양을 나타내지 않으므로 역기전력은 그림 4-9b와 같이 구형파가 아닙니다. 이와 같은 파형을 정확하게 결정하기 위해서는 훨씬 더 엄격해야 합니다. 동시에 이전 분석은 모터 작동에 대한 중요한 통찰력을 제공합니다.

두 개의 보다 일반적인 파형과 보다 실제적인 파형 세트가 그림 4-10에 나와 있습니다. 자석에서 자석으로 누설 자속 때문에 이 장에서 고려된 것과 같은 풀 피치 권선을 갖는 모터는 일반적으로 그림에서 밝은 곡선으로 표시된 것처럼 보다 사다리꼴인 역기전력 파형을 나타냅니다. 다른 모터는 자속 결합, 역기전력 및 토크가 정현파가 되도록 설계되어 있으며 그림에서 어두운 곡선으로 표시됩니다. 이 모터는 일반적으로 풀 피치 권선을 가지고 있지 않습니다.

Figure 4-10. More typical motor waveforms.

 

Multiple Coils

그림 4-6에서 4-8까지 도시된 모터는, 더 많은 코일을 위한 공간이 있기 때문에 그다지 효율적이지 않습니다. 세 개의 극으로부터의 자속은 항상 사용되지 않습니다. 모터 성능을 높이려면 그림 4-11과 같이 3개의 풀 피치 코일을 더 추가할 수 있습니다. 이 그림에서 두 개의 슬롯이 더 추가되어 새로운 세 개의 코일을 위한 공간이 마련됩니다. 이제 각 슬롯에는 하나가 아닌 두 개의 코일 측면이 있습니다. 첫 번째 코일은 변경되지 않습니다. 제 1 코일로부터 시작하여 고정자 주위로 반 시계 방향으로 이동하면서, 각각의 연속 코일은 마지막과 반대 방향으로 감겨진다. 이 방법으로 각 코일에 연결된 자속은 선행 코일과 동일합니다. N극과 S극의 극점도 번갈아 가며 나타납니다.

Figure 4-11. A motor containing four full-pitch coils.

이 시점에서 개별 코일이 어떻게 연결되는지에 대한 유연성이 있습니다. 코일이 4개인 경우 몇 가지 가능성이 있습니다. 모든 경우에 있어서, 연결된 코일의 집합을 상권선(phase winding) 또는 단순히 상(phase)이라고 합니다.

대부분의 경우 위상의 모든 코일은 직렬로 연결됩니다. 즉, 한 코일의 끝이 다음 코일의 시작에 연결됩니다. 이 작업이 완료되면 각 코일의 역기전력이 합쳐져 전체 권선에 대한 순(net) 역기전력이 됩니다. 각 코일에 대한 역기전력은 동일한 형상을 갖기 때문에 역기전력 진폭 (4.7)은

$$ E_b=2N_m NB_g L_{st} R_{ro} \omega_m $$ (4.10)

이 예에서 //(N_m//)=4이다. 유사하게, 토크의 진폭은 //(N_m//)에 의해

$$ |T|=2N_m N B_g L_{st} R_{ro} i $$ (4.11)

이 식은 (1.8)에 의해 주어진 것과 같이 //( T=kD^2L //)임을 확인한다. 하나의 직경 //(D//)가 반경 //(R_{ro}//)로 나타납니다. 다른 하나는 자석 극수 //(N_m//)에 의해 암시되며 //(L//)은 직접 //(L_{st}//)로 나타납니다.